Bài 1 trang 158 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính...

Đề bài :

Một trang báo điện tử thống kê thời gian người sử dụng đọc thông tin trên trang trong mỗi lần truy cập ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải :

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,

\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu \(n = 125\)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{125}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_{45}} \in \left[ {0;2} \right),{x_{46}},...,{x_{79}} \in \left[ {2;4} \right),{x_{80}},...,{x_{102}} \in \left[ {4,6} \right),{x_{103}},...,{x_{120}} \in \left[ {6;8} \right),\)

\({x_{121}},...,{x_{125}} \in \left[ {8;10} \right)\)

Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({x_{63}}\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {2;4} \right)\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_2} = 2 + \frac{{\frac{{125}}{2} - 45}}{{34}}.\left( {4 - 2} \right) = \frac{{103}}{{34}}\)

Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{31}} + {x_{32}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {0;2} \right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{125}}{4} - \left( {0 + 0} \right)}}{{45}}.\left( {2 - 0} \right) = \frac{{25}}{{18}}\)

Do cỡ mẫu \(n = 125\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{94}} + {x_{95}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {4;6} \right)\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 4 + \frac{{\frac{{3.125}}{4} - \left( {34 + 45} \right)}}{{23}}.\left( {6 - 4} \right) = \frac{{243}}{{46}}\)