Bài 3.17 trang 80 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Tìm các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to...

Đề bài :

Tìm các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}}\)

Hướng dẫn giải :

a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực

Áp dụng các công thức sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\)

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) với số mũ lớn nhất

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a,

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 3}}{{x + 4}} = \frac{{4 + 3}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\)

b,

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{1^3} + {1^2} + 1 + 1}}{{{1^2} + 1 + 1}} = \frac{4}{3}\)

c,

Chia cả từ và mẫu cho \({x^3}\) ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\)

d,

Chia cả tử và mẫu cho \(x\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)