Bài 3.14 trang 80 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Tìm các giới hạn sau: \(\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}}\) \(\lim \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n...

Đề bài :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}}\)

b) \(\lim \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}}\)

c) \(\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}}\)

d) \(\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}}\)

Hướng dẫn giải :

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn nhất

Sử dụng các công thức sau \(\lim \frac{1}{n} = 0;\,\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k\) là số nguyên dương; \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right|

Lời giải chi tiết :

a) \(\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}} = \lim \frac{{6 + \frac{3}{n}}}{{4 - \frac{1}{n}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

b) Nhận thấy tử và mẫu số lũy thừa cao nhất là \({n^5}\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({n^5}\) ta được

\({u_n} = \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)\left( {\frac{{2{n^3} - 2n + 1}}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right){{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}\)

Khi đó \(\lim {u_n} = \frac{{1.2}}{{{{1.1}^2}}} = 2\)

c) Chia cả tử và mẫu cho \(n\) ta được

\(\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{n}}}{{\frac{{2n - 1}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {8 + \frac{9}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2 \)

d) Vì \({6^n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\) ta được

\(\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{6}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0\)