Bài 16 trang 58 Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách...

Đề bài :

Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Hướng dẫn giải :

Tìm công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân để tính số tiền mỗi tháng ông An phải trả.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(u_n\)­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

\(u_1\) = 1 000 000 000 đồng.

\(u_2 = u_1 + u_1.1\% - a = u_1(1 + 1\%) – a\) (đồng)

\(u_3 = u_1(1 + 1\%) – a + [u_1(1 + 1\%) – a].1\% – a = u_1(1 + 1\%)^2 – a(1 + 1\%) – a\)

...

\(u_n = u_1(1 + 1\%)^{n-1} – a(1 + 1\%)^{n-2} – a(1 + 1\%)^{n-3} – a(1 + 1\%)^{n-4} – ... – a\).

Ta thấy dãy \(a(1 + 1\%)^{n-2}; a(1 + 1\%){n-3}; a(1 + 1\%)^{n-4}; ...; a\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

\(S_{n−2}=\frac{a(1−(99\%)^{n−2})}{1-99\%} =100a[1 – (99\%)^{n-2}]\).

Suy ra \(u_n = u_1(1 + 1\%)^{n-1} – 100a[1 – (99\%)^{n-2}]\).

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và \(u_{24}\) = 0. Do đó ta có:

\(u_{24} = u_1(1 + 1\%)^{23} – 100a[1 – (99\%)^{22}] = 0\)

⇔ \(1 000 000 000.(99\%)^{23} – 100a[1 – (99\%)^{22}] = 0\)

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.