Bài 3 trang 102 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Bốn bạn An, Bình, Châu, Dương đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh...

Đề bài :

Bốn bạn An, Bình, Châu, Dương đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Gọi A là biến cố “An đứng cạnh Bình”, B là biến cố “Châu đứng ở đầu hàng”. Tính xác suất của các biến cố AB và \(A \cup B\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu của phép thử là: “Số cách xếp 4 bạn thành 1 hàng ngang”.

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 4.3.2.1 = 24\)

Số trường hợp xảy ra của biến cố B là: \(n\left( B \right) = 2.3.2.1 = 12\)

Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{12}}{{24}} = \frac{1}{2}\)

Biến cố A xảy ra khi An và Bình đứng ở các vị trí 1 và 2, 2 và 3, 3 và 4.

Số trường hợp xảy ra của biến cố A là: \(n\left( A \right) = 2.3.2 = 12\)

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{24}}\)

AB là biến cố: “An đứng cạnh Bình và Châu đứng ở đầu hàng”.

AB xảy ra khi Châu đứng ở vị trí 1 thì An và Bình đứng ở các vị trí 2 và 3, 3 và 4; khi Châu có vị trí đứng 4 thì An và Bình đứng ở các vị trí 1 và 2, 2 và 3.

Số trường hợp xảy ra của biến cố AB là: \(n\left( {AB} \right) = 2.2.2 = 8\)

Xác suất của biến cố AB là: \(P\left( {AB} \right) = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3}\)

Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \) \( = \frac{{12}}{{24}} + \frac{{12}}{{24}} - \frac{8}{{24}} = \frac{2}{3}\)