Bài 10 trang 100 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40...

Đề bài :

Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”;

b) “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”.

Hướng dẫn giải :

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố xung khắc A và B. Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu là: “Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp có 40 tấm thẻ”

Số phần tử của không gian mẫu là: \(C_{40}^2\)

a) Gọi A là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”, B là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4”, C là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76”. Khi đó, \(A = B \cup C\)

Vì có hai tấm thẻ 1 và 2 có tổng nhỏ hơn 4 nên số kết quả thuận lợi của biến cố B là 1.

Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{1}{{C_{40}^2}}\)

Số kết quả thuận lợi của biến cố C là: (38; 39), (38; 40), (39; 40), (37; 40).

Xác suất của biến cố C là: \(P\left( C \right) = \frac{4}{{C_{40}^2}}\)

Vì B và C là hai biến cố xung khắc nên

\(P\left( A \right) = P\left( {B \cup C} \right) = P\left( B \right) + P\left( C \right) = \frac{1}{{C_{40}^2}} + \frac{4}{{C_{40}^2}} = \frac{1}{{156}}\)

b) Gọi E là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra chia hết cho 10”

Gọi F là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra không chia hết cho 5”

Gọi G là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra không chia hết cho 2”

Khi đó E là biến cố đối của biến cố \(F \cup G\)

Từ 1 đến 40 có 32 số không chia hết cho 5 nên số các kết quả thuận lợi của biến cố F là:\(n\left( F \right) = C_{32}^2\)

Xác suất của biến cố F là: \(P\left( F \right) = \frac{{C_{32}^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{{124}}{{195}}\)

Từ 1 đến 40 có 20 số không chia hết cho 2 nên số các kết quả thuận lợi của biến cố G là \(n\left( G \right) = C_{20}^2\)

Xác suất của biến cố G là: \(P\left( G \right) = \frac{{C_{20}^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{{19}}{{78}}\)

Từ 1 đến 40 có 4 có 16 số không chia hết cho 2 và 5. Do đó, xác suất của biến cố FG là: \(n\left( {FG} \right) = \frac{{C_{16}^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{2}{{13}}\)

Ta có: \(P\left( {F \cup G} \right) = P\left( F \right) + P\left( G \right) - P\left( {FG} \right) \) \(= \frac{{124}}{{195}} + \frac{{19}}{{78}} - \frac{2}{{13}} = \frac{{283}}{{390}}\)

Vậy xác suất của biến cố E là: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {F \cup G} \right) = 1 - \frac{{283}}{{390}} = \frac{{107}}{{390}}\)