Bài 4 trang 60 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Hình thang ABCD (AB//CD) có \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\). Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân...

Đề bài :

Hình thang ABCD (AB//CD) có \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\). Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thang cân để chứng minh: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải chi tiết :

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Tam giác EDC có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) nên tam giác EDC cân tại E. Do đó, \(EC = DE\) (1)

Vì AB//CD nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {EBA};\widehat {{C_1}} = \widehat {EAB}\)

Mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat {ABE}\)

Do đó, tam giác ABE cân tại E. Do đó: \(EA = EB\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(EC + AE = DE + EB\)

Suy ra: \(AC = BD\)

Hình thang ABCD có: \(AC = BD\) nên tứ giác ABCD là hình thang cân.