Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cùng khám phá Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục Mục 1 trang 65, 66, 67 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}\)...

Mục 1 trang 65, 66, 67 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}\)...

a, Thay giá trị của \({x_n}\) vào f(x). Trả lời Hoạt động 1 , Luyện tập 1, Hoạt động 2, Luyện tập 2, Hoạt động 3, Luyện tập 3 - mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 2. Giới hạn của hàm số. Cho dãy số (left( {{x_n}} right)) với ({x_n} = 1 + frac{1}{n}). Xét hàm số (f(x) = {x^2} - 2x)...

Câu hỏi:

Hoạt động 1

Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\)

a, Tính \(f({x_n})\) theo n.

b, Tìm \(\lim {x_n}\) và \(\lim f\left( {{x_n}} \right)\).

Hướng dẫn giải :

a, Thay giá trị của \({x_n}\) vào f(x).

b, Áp dụng giới hạn của dãy số để tính \(\lim {x_n}\) và \(\lim f\left( {{x_n}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

a, Thay \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}\) vào hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x\) ta được:

\(f({x_n}) = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2} - 2.(1 + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} - 2 - \frac{2}{n} = - 1 + \frac{1}{{{n^2}}}\)

b, Vì lim1=1, \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên:

\({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1\) và \(\lim f({x_n}) = \lim ( - 1 + \frac{1}{{{n^2}}}) = - 1\).


Câu hỏi:

Luyện tập 1

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\).

Hướng dẫn giải :

Chia tử cho mẫu và xác định giới hạn theo biểu thức đã chia.

Lời giải chi tiết :

f(x) xác định trên R\{2}

Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \({x_n} \ne 2\), và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), ta có:

\(\lim f({x_n}) = \lim \frac{{x_n^2 - 3{x_n} + 2}}{{{x_n} - 2}} = \lim \frac{{({x_n} - 1).({x_n} - 2)}}{{{x_n} - 2}}\)=\(\lim ({x_n} - 1) = 1\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1\).


Câu hỏi:

Hoạt động 2

a, Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3\).

b, Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x + 1)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}(x + 1)\).

Hướng dẫn giải :

a, Xác định giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy số \(\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to 2} \)

b, Áp dụng câu a để tính giới hạn ở câu b.

Lời giải chi tiết :

a, f(x) xác định trên R.

Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \({x_n} \ne 2\), và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = \lim {({x_n})^2} = {2^2} = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im (}}{{\rm{x}}_n} + 1) = 2 + 1 = 3\).

b, Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 4 + 3 = 7\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}(x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 4.3 = 12\).


Câu hỏi:

Luyện tập 2

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}}\).

Hướng dẫn giải :

Với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) ta rút gọn hàm số và xác định giới hạn.

Với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}}\) tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \left( {{x^2} + \sqrt {2 - x} } \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} {(2 + x)^2}\) và áp dụng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{A}{B},B \ne 0\)

Lời giải chi tiết :

a, Hàm số \(\frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) xác định trên R\{-1}

Với \(x \ne - 1\) ta có:

\(\frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{({x^3} + {x^2}) + (x + 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{x + 1}}\)= \(\frac{{({x^2} + 1).(x + 1)}}{{x + 1}} = {x^2} + 1\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} + 1} \right) = {( - 1)^2} + 1 = 2\)

b, Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \left( {{x^2} + \sqrt {2 - x} } \right) = {( - 6)^2} + \sqrt {2 - ( - 6)} = 36 + \sqrt 8 = 36 + 2\sqrt 2 \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} {(2 + x)^2} = {(2 - 6)^2} = 16\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}} = \frac{{36 + 2\sqrt 2 }}{{16}} = \frac{{18 + \sqrt 2 }}{8}\).


Câu hỏi:

Hoạt động 3

Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\) và dãy số \(({x_n})\) mà \(\lim ({x_n}) = 0\). Tính \(\lim f({x_n})\).

Hướng dẫn giải :

Tính lim 1 và \(\lim {({x_n})^2}\) sau đó tính \(\lim f({x_n})\).

Lời giải chi tiết :

Với mọi dãy \(({x_n})\) mà \(\lim ({x_n}) = 0\) ta có \(\lim {({x_n})^2}\)= 0 và lim 1=1

Vậy \(\lim f(x) = \lim \frac{1}{{x_n^2}} = + \infty \).


Câu hỏi:

Luyện tập 3

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}\).

Hướng dẫn giải :

Tìm \(\lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} )\) để xác định \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}\).

Lời giải chi tiết :

Với mọi dãy \(({x_n})\) mà \(\lim ({x_n}) = 0\), ta có \(2 - \sqrt {4 + x_n^2} > 0\) vì (\({x_n} \ne 0\)) và \(\lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} )\)=0

Vì lim 1=1 nên \(\lim \frac{2}{{2 - \sqrt {{x_n}^2 + 4} }} = + \infty \).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }} = + \infty \).

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Cùng khám phá

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK