Trang chủ Lớp 11 SGK Toán 11 - Cùng khám phá Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục Mục 2 trang 67, 68, 69 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2, x \ge 1\\x - 4, x a, So sánh \({u_n}...

Mục 2 trang 67, 68, 69 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2, x \ge 1\\x - 4, x a, So sánh \({u_n}...

a, Xác định \(\lim \frac{1}{n}\) để so sánh \({u_n}, {v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\). Hướng dẫn cách giải/trả lời Hoạt động 4, Luyện tập 4, Luyện tập 5, Hoạt động 5, Luyện tập 6 - mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 2. Giới hạn của hàm số. Cho hàm số (f(x) = left{ begin{array}{l}x + 2, x ge 1\x - 4, x < 1end{array} right. ) và hai dãy số (({u_n})) và (({v_n})) với ({u_n} = 1 + frac{1}{n})...

Câu hỏi:

Hoạt động 4

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x \ge 1\\x - 4,x

a, So sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b, Tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\) theo n.

c, Tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).

Hướng dẫn giải :

a, Xác định \(\lim \frac{1}{n}\) để so sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b, Thay \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\) để tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\).

c, Sử dụng câu a,b để tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).

Lời giải chi tiết :

a, Ta có \(\lim \frac{1}{n} = 0\) và \(\frac{1}{n} > 0\) nên:

\({u_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) và \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}

\(\lim {u_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1\) và \(\lim {v_n} = \lim (1 - \frac{1}{n}) = 1\).

b, Với \({u_n} > 1\) thay x=\({u_n}\) vào f(x)=x+2 ta được:

\(f({u_n}) = {u_n} + 2 = 1 + \frac{1}{n} + 2 = 3 + \frac{1}{n}\).

Với \({v_n}

\(f({v_n}) = {v_n} - 4 = 1 - \frac{1}{n} - 4 = - 3 - \frac{1}{n}\).

c, Ta có: \(\lim f({u_n}) = \lim (3 + \frac{1}{n}) = 3\).

\(\lim f({v_n}) = \lim ( - 3 - \frac{1}{n}) = - 3\).


Câu hỏi:

Luyện tập 4

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}},x

Hướng dẫn giải :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim ({x_n}^2 + 1)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim \frac{{{x_n}^2 - 1}}{{{x_n} + 1}}\)

Lời giải chi tiết :

Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} > - 1\) và \(\lim {x_n} = - 1\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 1\).

Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) =\(\lim f({x_n}) = {( - 1)^2} + 1 = 2\).

Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n}

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \)\(\lim f({x_n}) = - 1 - 1 = - 2\).


Câu hỏi:

Luyện tập 5

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2ax + 6,x \ge - 2\\\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x

Hướng dẫn giải :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\) để tìm giá trị của a.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)

Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) \Leftrightarrow - 4a + 6 = - 4 \Leftrightarrow - 4a = - 10 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)

Vậy \(a = \frac{5}{2}\).


Câu hỏi:

Hoạt động 5

Đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x - 2}}\) được cho trong hình 3.3

a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.

b, \(({x_n})\)là một dãy số bất kì mà \({x_n}

image

Hướng dẫn giải :

a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.

b, Thay \(x = {x_n}\) để tính \(f({x_n})\).

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\).

Lời giải chi tiết :

a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến \( + \infty \)

Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến \( - \infty \).

b, Thay \(x = {x_n}\) vào f(x) ta được : \(f({x_n}) = \frac{1}{{{x_n} - 2}}\)

Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} > 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim1=1 ta có:

\(\lim f({x_n}) = + \infty \)

Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n}

\(\lim f({x_n}) = - \infty \).


Câu hỏi:

Luyện tập 6

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}\).

Hướng dẫn giải :

Áp dụng định lý \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \) với mọi số thực a.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} = + \infty \)

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Cùng khám phá

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK