Bài 7.12 trang 38 Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá: Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là đường cao và H là trực tâm...

Đề bài :

Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là đường cao và H là trực tâm. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEHF, BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp

b) DA là đường phân giác của góc FDE.

Hướng dẫn giải :

Đọc kĩ dữ kiện để vẽ hình

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \({180^o}\).

Áp dụng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^o}\) (Do CF và BE là đường cao)

suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tương tự BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp

b) Theo phần a ta có BDHF nội tiếp nên \(\widehat {ABE} = \widehat {FDA}\)

DHEC nội tiếp nên \(\widehat {ADE} = \widehat {FCA}\).

Lại có \(\widehat {ABE} = \widehat {FCA}\) (cùng phụ \(\widehat {BAC}\))

Suy ra \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\) hay AD là đường phân giác của góc FDE.