Bài tập 12 trang 44 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Hình 38 minh họa mặt cắt đứng của một bức tường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng...

Đề bài :

Hình 38 minh họa mặt cắt đứng của một bức tường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra vào có dạng hình parabol với các kích thước được cho như trong hình đó. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của bức tường đó. Chi phí để sơn lại bức tường là 15 000 đồng/ 1\({m^2}\). Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó sẽ là bao nhiêu

Hướng dẫn giải :

Tìm diện tích cánh cổng thông qua tích phân của hàm số biểu diễn cánh cổng đó trên hệ tọa độ. Từ đó tìm được diện tích cần sơn để tính chi phí

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ tọa độ Oxy có gốc tọa độ O(0;0) tại chân bên trái của bức tường

Cổng được biểu diễn trên hệ tọa độ bằng hàm số: \(y = a{x^2} + b\)

Đồ thị hàm số này đi qua điểm (2;0) và có đỉnh là (4;4,8), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\16a + b = 4,8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0,4\\b = - 1,6\end{array} \right.\)

Vậy \(y = 0,4{x^2} - 1,6\)

Diện tích cánh cổng là: \(\int\limits_2^6 {\left( {0,4{x^2} - 1,6} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{2}{{15}}{x^3} - 1,6x} \right)} \right|_2^6 = \frac{{64}}{3}{m^2}\)

Diện tích bức tường là: 10.8 = 80\({m^2}\)

Diện tích cần sơn là: \(80 - \frac{{64}}{3} = \frac{{176}}{3}{m^2}\)

Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là: \(15000.\frac{{176}}{3} = 880000\)(đồng)