Bài tập 10 trang 43 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Một chiếc xe ô tô chạy thử nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên...

Đề bài :

Một chiếc xe ô tô chạy thử nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên. Tốc độ của chiếc xe ô tô đó (tính bằng mét/giây) lần lượt ở giây thứ 10, thứ 20, thứ 30, thứ 40, thứ 50 và thứ 60 được ghi lại trong Bảng 1

a) Hãy xây dựng hàm số bậc ba \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)\) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục tọa độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên nửa khoảng \([0; + \infty )\) “gần” với các điểm O(0;0), B(10;5), C(20;21), D(30;40), E(40;62), G(50;78), K(60;83)

b) Hãy tính (gần đúng) quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ 60 của quá trình thử nghiệm

Hướng dẫn giải :

a) Thay các giá trị vào hàm số và giải hệ phương trình

b) Tính quãng đường thông qua tích phân của vận tốc

Lời giải chi tiết :

a) \(v(t) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d(a \ne 0)\) với t là thời gian (giây)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}v(0) = d = 0\\v(10) = 1000a + 100b + 10c + d = 5\\v(20) = 8000a + 400b + 20c + d = 21\\v(30) = 27000a + 900b + 30c + d = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\a = - \frac{1}{{750}}\\b = \frac{{19}}{{200}}\\c = - \frac{{19}}{{60}}\end{array} \right.\)

Vậy \(v(t) = - \frac{1}{{750}}{t^3} + \frac{{19}}{{200}}{t^2} - \frac{{19}}{{60}}t\)

b) Quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ 60 của quá trình thử nghiệm là:

\(\int\limits_0^{60} {v(t)} dt = \int\limits_0^{60} {\left( { - \frac{1}{{750}}{t^3} + \frac{{19}}{{200}}{t^2} - \frac{{19}}{{60}}t} \right)dt} = \left. {\left( { - \frac{1}{{3000}}{t^4} + \frac{{19}}{{600}}{t^3} - \frac{{19}}{{120}}{t^2}} \right)_0^{60}} \right| = 1950m\)