Bài tập 9 trang 43 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus...

Đề bài :

Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi P(t) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ t tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virus cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số. Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.

Hướng dẫn giải :

Từ dữ kiện “tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virus cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số” ta tìm được hệ số đó và phương trình biểu diễn P(t)

Lời giải chi tiết :

P(t) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ t tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường => P’(t) là tốc độ lây lan của virus cúm

Ta có: \(P'(t) = k(1000 - P(t))\)

\( \Rightarrow \int {P'(t)dt = \int {k(1000 - P(t))dt} } \)

\( \Leftrightarrow \int {\frac{{P'(t)dt}}{{1000 - P(t)}}} = \int {kdt} \) (1)

Đặt \(u = 1000 - P(t) \Rightarrow du = - P'(t)dt\)

(1) \( \Leftrightarrow \int { - \frac{{du}}{u}} = \int {kdt} \Leftrightarrow - \ln |u| = kt + C \Leftrightarrow - \ln |1000 - P(t)| = kt + C\)

Vì \(P(t) \le 1000\) nên ta có \( - \ln \left( {1000 - P(t)} \right) = kt + C\)

Tại t = 0 thì có 1 học sinh bị nhiễm \( \Rightarrow - \ln \left( {1000 - 1} \right) = C \Leftrightarrow C = - \ln 999\)

Tại t = 4 thì có 52 học sinh bị nhiễm \( \Rightarrow - \ln \left( {1000 - 52} \right) = 4k - \ln 999 \Leftrightarrow k = \frac{1}{4}\ln \frac{{999}}{{948}} \approx 0,0131\)

Vậy số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày là: \(P(t) = 1000 - {e^{ - kt}}.999 \Rightarrow P(10) = 1000 - {e^{ - 0,0131.10}}.999 \approx 123\)