Bài 7 trang 81 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5)...

Đề bài :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B’D’} \)

b) \(\overrightarrow {AC’} \) và \(\overrightarrow {BD} \)

Hướng dẫn giải :

Cho hai vecto \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})\) không cùng phương. Khi đó, vecto \(\overrightarrow w = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = (\frac{1}{2};0;\frac{1}{2})\)

\( \Rightarrow C(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}) \Leftrightarrow CC’ = (\frac{5}{2};5;\frac{{ - 13}}{2})\)

Vì \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {CC’} \Rightarrow B'(\frac{9}{2};6; - \frac{9}{2})\);\(\overrightarrow {DD’} = \overrightarrow {CC’} \Rightarrow D'(\frac{7}{2};4; - \frac{{11}}{2})\)

\(\overrightarrow {B’D’} = ( - 1; - 2;1)\)

\([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B’D’} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;0\;\;\;\;\frac{1}{2}\\ - 2\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\\\;1\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;0\\ - 1\;\;\;\; - 2\end{array} \right|} \right) = (1; - 1; - 1)\)

Chọn \(\overrightarrow u = (1; - 1; - 1)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B’D’} \)

b) \(\overrightarrow {AC’} = (3;5; - 6)\), \(\overrightarrow {BD} = ( - 1; - 2; - 1)\)

\([\overrightarrow {AC’} ,\overrightarrow {BD} ] = \left( {\left| \begin{array}{l}\;\;\;5\;\;\;\; - 6\\ - 2\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 6\;\;\;\;\;\;3\\\; - 1\;\;\;\;\; - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\;\;\;\;\;\;\;5\\ - 1\;\;\;\; - 2\end{array} \right|} \right) = ( - 17;9; - 1)\)

Chọn \(\overrightarrow v = ( - 17;9; - 1)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AC’} \) và \(\overrightarrow {BD} \)