Bài 8 trang 81 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không...

Đề bài :

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch 2.54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Hướng dẫn giải :

a) Dùng phép chiếu để chiếu vecto lực lên phương phù hợp. Sau đó từ dữ kiện đề bài và các công thức phù hợp, ta xác định được hàm số

b) Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

c) Từ hàm số thay các giá trị vào ta sẽ tìm được Lmin

Lời giải chi tiết :

Gọi tâm chiếc đèn là S

a) Xét theo phương Oz ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \) (vì đèn cân bằng theo phương thẳng đứng)

Chiếu lên Oz: \({F_1}.\sin \widehat {OAS} + {F_2}.\sin \widehat {OBS} + {F_3}.\sin \widehat {OCS} = P = 24\)(1)

Xét tam giác OCS vuông tại S: \(\cos \widehat {OCS} = \frac{r}{L} = \frac{{45,72}}{L}\)

Ta có: ABC là tam giác đều và OA = OB = OC = L, suy ra OABC là hình chóp tam giác đều

=> \(\widehat {OCS} = \widehat {OAS} = \widehat {OBS}\)

Từ (1) ta có: \(3F.\sin \widehat {OCS} = 24 \Leftrightarrow F = \frac{8}{{\sin \widehat {OCS}}} = \frac{8}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {OCS}} }} = \frac{8}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{45,72}}{L}} \right)}^2}} }} = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^{}} - 2090,3184} }}\)

Vậy \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }}\)

b) Xét \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }}\)

Tập xác định: \(D = (45,72; + \infty )\)

\(F’ = F'(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }} = \frac{{8\sqrt {{L^2} - 2090,3184} - \frac{{8{L^2}}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }}}}{{{L^2} - 2090,3184}} = \frac{{ - 16722,5472}}{{\sqrt[3]{{{L^2} - 2090,3184}}}}\)

Ta có: \(F’ = F'(L) < 0 \Leftrightarrow \forall L \in D\) nên \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }}\) luôn nghịch biến trên D

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

c) \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 2090,3184} }} \le 10 \Leftrightarrow L \ge 76,2cm\)

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là 76,2cm