Bài 41 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp \(S. ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta dễ dàng chứng minh được \(SO\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Vì \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\), ta suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(SO \bot AO\).

Do \(ABCD\) là hình thoi, nên ta có \(AC \bot BD\), hay \(AO \bot BD\).

Như vậy ta có \(SO \bot AO\), \(AO \bot BD\) nên \(AO \bot \left( {SBD} \right)\).

Mà \(AO \subset \left( {SAC} \right)\) nên ta suy ra \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Bài toán được chứng minh.