Bài 43 trang 104 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp \(S. ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

c) \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AB\). Ta chứng minh được \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AB\). Ta có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SH \bot AB\), \(AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\) nên suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(SH \bot AD\). Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\).

Như vậy ta có \(SH \bot AD\), \(AB \bot AD\) nên suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot AD\).

Do \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên ta suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

Ta có điều phải chứng minh.

b) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này dẫn tới \(SH \bot BC\). Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot BC\).

Như vậy ta có \(SH \bot BC\), \(AB \bot BC\) nên suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot BC\).

Do \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên ta suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Ta có điều phải chứng minh.

c) Theo câu a, ta có \(\left( {SAB} \right) \bot AD\) nên \(AD \bot SB\). Do tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), ta suy ra \(SA \bot SB\).

Như vậy ta có \(AD \bot SB\), \(SA \bot SB\) nên \(\left( {SAD} \right) \bot SB\).

Do \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên ta suy ra \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)