Bài 51 trang 117 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\)...

Đề bài :

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\). Xác định ảnh của tứ diện \(ABCD\) qua phép chiếu song song có phương chiếu là đường thẳng \(MN\), mặt phẳng chiếu là mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bất kì cắt đường thẳng \(MN\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng các tính chất của phép chiếu song song.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(f\) là phép chiếu song song có phương chiếu là đường thẳng \(MN\), mặt phẳng chiếu là mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bất kì cắt \(MN\).

Nhận xét rằng hình chiếu của song song của đoạn thẳng \(MN\) theo phép chiếu \(f\) là một điểm. Gọi điểm đó là \(I\).

Gọi \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’\) lần lượt là hình chiếu của \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) theo phép chiếu \(f\).

Do phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số giữa các đoạn thẳng cùng nằm trên 1 đường thẳng, nên do \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\) là trung điểm của \(A’B’\). Tương tự, \(I\) là trung điểm của \(C’D’\). Suy ra \(A’C’B’D’\) là hình bình hành.

Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là hình bình hành \(A’C’B’D’\) và hai đường chéo \(A’B’\), \(C’D’\) của nó.