Bài 47 trang 110 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp \(S. ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\)...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Tính khoảng cách:

a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

c) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

d) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

e*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Hướng dẫn giải :

a) Chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), từ đó tính được khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Chỉ ra rằng \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Ta chứng minh \(H\) cũng là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(AH\).

d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Ta chứng minh \(M\) cũng là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BM\).

e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SD\). Ta chứng minh \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot BC\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Do đó, \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), tức là khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là đoạn thẳng \(BC\). Do \(BC = 4a\), nên khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(4a\).

b) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot AB\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\). Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(AB\). Do \(AB = 3a\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là \(3a\).

c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Theo câu a, ta có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(AH \bot BC\). Vì \(AH \bot BC\), \(AH \bot SB\), ta có \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đoạn thẳng \(AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\), \(SA = AB = 3a\) nên ta suy ra \(AH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta suy ra \(SA \bot BM\). Vì \(SA \bot BM\), \(AC \bot BM\) nên \(\left( {SAC} \right) \bot BM\). Vậy \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là đoạn thẳng \(BM\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BM\), nên ta có \(\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).

Suy ra \(BM = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\).

e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Do \(\widehat {ABC} = {90^o}\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật. Suy ra \(CD \bot AD\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot CD\). Do đó \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

Gọi \(N\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SD\). Do \(CD \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CD \bot AN\).

Như vậy ta có \(CD \bot AN\), \(AN \bot SD\) nên \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\), và bằng \(AN\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có

\(AN = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\)