Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều \(ABCD\).
c) Côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
d) Côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\).
a) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Ta chứng minh \(MN\) là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\), từ đó khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng \(MN\).
b) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\). Ta chứng minh được rằng \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều \(BCD\). Từ đó tính được \(BE\), sử dụng định lý Pythagore, ta tính được chiều cao \(AE\) của khối chóp.
Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\), với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của khối chóp.
c) Chứng minh rằng góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(\widehat {ABE}\), do đó để tính cosin của góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\), ta cần tính \(\cos \widehat {ABE}\).
d) Chứng minh rằng góc \(\widehat {CMD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\). Do vậy, để tính côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\), ta tính \(\cos \widehat {CMD}\), và sử dụng định lý cos để tính giá trị này.
a) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Do \(ABCD\) là tứ diện đều, ta suy ra các tam giác \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\), \(BCD\) là các tam giác đều.
Tam giác \(ABC\) đều có \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên ta có \(CM \bot AB\). Chứng minh tương tự ta có \(DM \bot AB\).
Như vậy, do \(CM \bot AB\), \(DM \bot AB\) nên \(\left( {CDM} \right) \bot AB\), điều này suy ra \(MN \bot AB\). Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \(MN \bot CD\).
Vậy \(MN\) là đường vuông góc chưng của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\), từ đó khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(MN\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), đường cao \(CM\) nên ta có \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tương tự, ta cũng có \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CN = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\).
Tam giác \(CMN\)vuông tại \(N\), nên\(MN = \sqrt {C{M^2} - C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\). Ta có \(AE\) là đường cao của tứ diện \(ABCD\).
Do \(ABCD\) là tứ diện đều, nên \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(BCD\). Do \(BCD\) là tam giác đều, nên \(E\) cũng là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Mà \(N\) là trung điểm của \(CD\), nên ta có \(BE = \frac{2}{3}BN\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\), đường cao \(BN\) nên ta có \(BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra \(BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\), nên \(AE = \sqrt {A{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy chiều cao của tứ diện đều là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Do đáy \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\), nên diện tích đáy của tứ diện là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
c) Do \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {BCD} \right)\), nên góc giữa \(AB\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(\widehat {ABE}\).
Tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\), nên ta có \(\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy côsin góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
d) Theo câu a, ta có \(CM \bot AB\) và \(DM \bot AB\), nên \(\widehat {CMD}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\).
Áp dụng định lý cos trong tam giác \(CMD\), ta có
\(\cos \widehat {CMD} = \frac{{C{M^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2CM.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\).
Vậy côsin của số đo góc nhị diện \(\left[ {C,AB,D} \right]\) bằng \(\frac{1}{3}\).
Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.
- Bộ sách Cánh Diều được lựa chọn bởi phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Mỗi cuốn sách giáo khoa Cánh Diều đều chứa đựng rất nhiều sáng tạo, tâm huyết, mang đầy tri thức và cảm xúc của các tác giả biên soạn.
Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm học quan trọng, bắt đầu hướng đến những mục tiêu sau này. Hãy học tập chăm chỉ và tìm ra đam mê của mình để có những lựa chọn đúng đắn cho tương lai!'
- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.
Nguồn : Sưu tậpCopyright © 2024 Giai BT SGK