Bài 41 trang 113 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC. A’B’C’\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A’C’\)...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A’C’\).

a) Chứng minh rằng \(A’B\parallel \left( {B’CM} \right)\).

b) Xác định giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A’BC’} \right)\).

Hướng dẫn giải :

a) Gọi \(N\) là trung điểm cạnh \(BC’\). Chứng minh rằng \(MN\parallel A’B\), rồi suy ra điều phải chứng minh.

b) Chỉ ra rằng hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A’BC’} \right)\) chứa hai đường thẳng song song và chung điểm \(B\), từ đó xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Lời giải chi tiết :

a) Gọi \(N\) là trung điểm cạnh \(BC’\). Do \(M\) là trung điểm cạnh \(A’C’\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A’BC’\). Suy ra \(A’B\parallel MN\).

Do \(MN \subset \left( {B’MC} \right)\), nên \(A’B\parallel \left( {B’MC} \right)\). Bài toán được chứng minh.

b) Ta có \(AC\parallel A’C’\), \(A’C’ \subset \left( {A’BC’} \right)\), \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này (nếu có) là một đường thẳng song song hoặc trùng với \(AC\).

Mặt khác, do \(B \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {A’BC’} \right)\), nên ta kết luận rằng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A’BC’} \right)\) có giao tuyến là đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) và song song với \(AC\) (trên hình vẽ).