Bài 37 trang 112 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC. A’B’C’\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B’C’\). Khẳng định nào...

Đề bài :

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B’C’\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left( {A’MN} \right)\parallel \left( {ACC’} \right)\)

B. \(\left( {A’BN} \right)\parallel \left( {AC’M} \right)\)

C. \(C’M\parallel \left( {A’B’B} \right)\)

D. \(BN\parallel \left( {ACC’A’} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng các tính chất về đường thẳng song song với mặt phẳng, các tính chất về hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Ta nhận xét rằng \(A’ \in \left( {A’MN} \right)\) và \(A’ \in \left( {ACC’A’} \right)\), nên hai mặt phẳng \(\left( {A’MN} \right)\) và \(\left( {ACC’} \right)\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.

Xét hai mặt phẳng \(\left( {A’BN} \right)\) và \(\left( {AC’M} \right)\). Do \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(B’C’\), nên ta có \(BM = C’N = \frac{1}{2}BC\). Hơn nữa, do \(BC\parallel B’C’\) nên tứ giác \(BMC’N\) là hình bình hành. Suy ra \(BN\parallel C’M\), mà do \(C’M \subset \left( {AC’M} \right)\) nên \(BN\parallel \left( {AC’M} \right)\).

Mặt khác, vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(B’C’\) nên \(MN\parallel BB’\) và \(MN = BB’\). Do \(ABC.A’B’C’\) là lăng trụ tam giác, nên \(BB’\parallel AA’\) và \(BB’ = AA’\). Từ đó ta có \(MN = AA’\) và \(MN\parallel AA’\). Điều này có nghĩa tứ giác \(A’NMA\) là hình bình hành. Suy ra \(A’N\parallel AM\). Do \(AM \subset \left( {AC’M} \right)\) nên \(A’N\parallel \left( {AC’M} \right)\). Vậy \(\left( {A’BN} \right)\parallel \left( {AC’M} \right)\).

Xét mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\), ta thấy rằng \(BB’\) và \(CM\) cắt nhau, mà do \(BB’ \subset \left( {A’B’B} \right)\) nên \(CM\) và \(\left( {A’B’B} \right)\) có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra \(BN\) và \(\left( {ACC’A’} \right)\) không song song với nhau.

Đáp án đúng là B.