Bài 41 trang 22 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tìm tập xác định của các hàm số sau...

Đề bài :

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {1 + \sin 3x} \)

b) \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}\)

c) \(y = \frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}\)

d) \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\)

e) \(y = \frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}\)

g) \(y = \sqrt {\cos x - 1} \)

Hướng dẫn giải :

a) Hàm số xác định khi \(1 + \sin 3x \ge 0\).

Xác định miền giá trị của \(1 + \sin 3x\) và kết luận.

b) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\\sqrt {1 - \cos x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 - \cos x > 0\).

Chứng minh \(1 - \cos x \ge 0\), rồi chỉ ra điều kiện xác định của hàm số sẽ là \(1 - \cos x \ne 0\).

c) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x \ne 0\).

Tìm các giá trị của \(x\) để \(\sin x \ne 0\), và kết luận.

d) Hàm số xác định khi: \(\sin x + \cos x \ne 0\).

Áp dụng công thức \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\) để đưa điều kiện xác định của hàm số trở thành \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\).

Do đó \(x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \)

e) Hàm số xác định khi \(1 + \sin x\cos x \ge 0\)

Chứng minh rằng với \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)

Từ đó suy ra \(1 + \sin x\cos x > 0\).

f) Hàm số xác định khi \(\cos x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \cos x \ge 1\).

Do \(\cos x \le 1\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\), nên điều kiện xác định tương đương với \(\cos x = 1\).

Lời giải chi tiết :

a) Hàm số xác định khi \(1 + \sin 3x \ge 0\).

Với \(\forall x \in \mathbb{R}\), ta thấy \(\sin 3x \ge - 1 \Leftrightarrow 1 + \sin 3x \ge 0\).

Do đó, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

b) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\\sqrt {1 - \cos x} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 - \cos x > 0\).

Ta thấy với \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\cos x \le 1 \Leftrightarrow - \cos x \ge - 1 \Leftrightarrow 1 - \cos x \ge 0\), nên điều kiện xác định của hàm số sẽ tương đương với \(1 - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x \ne 0\).

Ta có \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Hàm số xác định khi: \(\sin x + \cos x \ne 0\).

Ta có \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\)

Do đó, điều kiện xác định của hàm số tương đương với:

\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do đó, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

e) Hàm số xác định khi \(1 + \sin x\cos x \ge 0\)

Ta thấy với \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\sin 2x = 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\).

Do \(\sin 2x \ge - 1 \Rightarrow \frac{{\sin 2x}}{2} \ge \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow 1 + \frac{{\sin 2x}}{2} \ge 1 + \frac{{ - 1}}{2} = \frac{1}{2} > 0\)

Từ đó suy ra \(1 + \sin x\cos x > 0\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

f) Hàm số xác định khi \(\cos x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \cos x \ge 1\).

Do \(\cos x \le 1\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\), nên điều kiện xác định tương đương với \(\cos x = 1\).

\( \Leftrightarrow x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).