Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 - Cánh diều: Phương trình \(\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0\) có các nghiệm là: A...

Đề bài :

Phương trình \(\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0\) có các nghiệm là:

A. \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hướng dẫn giải :

Nhận xét rằng nếu \(\sin x = 0\) thì \(\cos x = 0\). Điều này là vô lí, do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

Như vậy \(\sin x \ne 0\). Biến đổi phương trình trở thành \(\cot x = - \sqrt 3 \).

Sử dụng kết quả \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Nếu \(\sin x = 0\) thì \(\cos x = 0\). Điều này là vô lí, do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

Như vậy \(\sin x \ne 0\). Phương trình tương đương với:

\(\sqrt 3 \cos x = - 3\sin x \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = - \frac{3}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \).

Vì \(\cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \sqrt 3 \), phương trình tương đương với:

\(\cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là A.