Bài 4 trang 76 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau...

Đề bài :

Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2}\)

b) \(y = \frac{2}{{3 - x}}\)

c) \(y = \sin 2x\cos x\)

d) \(y = {e^{ - 2x + 3}}\)

e) \(y = \ln (x + 1)\)

f) \(y = \ln ({e^x} + 1)\)

Hướng dẫn giải :

Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp hai để tính

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} \Rightarrow y’ = 8{x^3} - 9{x^2} + 10x\\ \Rightarrow y” = 24{x^2} - 18x + 10\end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l}y = \frac{2}{{3 - x}} \Rightarrow y’ = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y” = \frac{{ - 6\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right)’}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{{ - 6.\left( { - 1} \right).\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{6}{{{{\left( {3 - x} \right)}^3}}}\end{array}\)

c,

\(\begin{array}{l}y = \sin 2x\cos x\\ \Rightarrow y’ = 2\cos 2x.\cos x - \sin 2x.\sin x = 2.\frac{1}{2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\cos 3x - \cos x} \right)\\ = \frac{3}{2}\cos 3x + \frac{1}{2}\cos x\\ \Rightarrow y” = - \frac{3}{2}.3.\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x = - \frac{9}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x\end{array}\)

d,

\(y = {e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y’ = - 2{e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y” = 4.{e^{ - 2x + 3}}\)

e,

\(y = \ln (x + 1) \Rightarrow y’ = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y” = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

f,

\(y = \ln ({e^x} + 1) \Rightarrow y’ = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}} \Rightarrow y” = - \frac{{{e^x}.{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}\)