Bài 55 trang 100 SBT toán 10 Cánh diều: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N...

Đề bài :

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM} \)

với k là số thực. Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {EN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AC} \) và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định vị trí các điểm D, E, M, N trên các cạnh AB, AC, BC, AM

Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {EN}  = t\overrightarrow {DE} \) chứng minh D, E, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM

a) Ta có:  \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow a \); \(\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}  = \frac{2}{5}\overrightarrow b \);

\(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)

+ \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM}  = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{k}{3}\overrightarrow b \)

+ \(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AD}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  + \frac{2}{5}\overrightarrow b \)

+ \(\overrightarrow {EN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AE}  = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) - \frac{2}{5}\overrightarrow b  = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b \)

b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {EN}  = t\overrightarrow {DE} \) \( \Leftrightarrow \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a  + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b  = t\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow a  + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} =  - \frac{t}{3}\\\frac{{5k - 6}}{{15}} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}k + \frac{1}{3}t = 0\\\frac{1}{3}k - \frac{2}{5}t = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t =  - \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.\)

Vậy với \(k = \frac{6}{{17}}\) thì D, E, N thẳng hàng.