Bài 54 trang 100 SBT toán 10 Cánh diều: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P th...

Đề bài :

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \). Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \). Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD

Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \)

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {NP} \) chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết, M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C, P nằm giữa A và D

a) Ta có:

+ \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \). Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

+ \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM} \)mà \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\), \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow a \)

nên \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow a  =  - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a  + \frac{1}{5}\overrightarrow b \)

+ \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AN} \) mà \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\), \(\overrightarrow {AP}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow b \)

nên \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow b  - \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{5}\overrightarrow a  + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \)

Vậy \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\); \(\overrightarrow {MN}  =  - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a  + \frac{1}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {NP}  =  - \frac{1}{5}\overrightarrow a  + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \)

b) Theo a, \(\overrightarrow {MN}  =  - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a  + \frac{1}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {NP}  =  - \frac{1}{5}\overrightarrow a  + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \)  \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  =  - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a  + \frac{1}{5}\overrightarrow b  = \frac{3}{2}\left( { - \frac{1}{5}\overrightarrow a  + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {NP} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NP} \) cùng phương. Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.