Bài 56 trang 89 SBT toán 10 Cánh diều: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x + 2)...

Đề bài :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 4)² = 25 và điểm A(-1; 3).

a) Xác định vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C)

b) Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn tại M và N. Viết phương trình đường thẳng d sao cho MN ngắn nhất

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (C)

Bước 2: So sánh độ dài IA và bán kính R để xét vị trí tương đối của A với (C)

Bước 3: Áp dụng tính chất dây cung càng xa tâm có độ dài càng nhỏ để tìm GTLN của \(d(I,d)\)

Bước 4: Viết PTTQ của d với các yếu tố tìm được ở bước 3

Lời giải chi tiết :

a) (C) có tâm I(-2 ; 4) và bán kính R = 5

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (1; - 1) \Rightarrow IA = \sqrt 2 \)

Có: \(IA = \sqrt 2  < R \Rightarrow \) Điểm A nằm bên trong đường tròn (C)

b) Theo giả thiết, d cắt (C) tại 2 điểm M, N thỏa mãn MN ngắn nhất \( \Leftrightarrow \) khoảng cách từ tâm I đến d lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của I trên d. Ta có: \(IH \le IA\)

\( \Rightarrow \) IH đạt GTLN khi và chỉ khi H trùng với A

\( \Rightarrow IA \bot d\) \( \Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow {IA}  = (1; - 1)\) làm vectơ pháp tuyến nên có PT: x – y + 4 = 0