Bài 55 trang 89 SBT toán 10 Cánh diều: Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C): (x...

Đề bài :

Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C): (x + 2)² + (y − 3)² = 4 trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

c) ∆ đi qua điểm D(0 ; 4)

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I của (C)

Bước 2:

a) Tham số hóa và xác định tọa độ tiếp điểm và VTPT của tiếp tuyến

b)

- Xác định tọa độ VTPT của tiếp tuyến, viết PTTQ với VTPT vừa tìm được

- Sử dụng công thức khoảng cách để tìm hệ số tự do trong PT tiếp tuyến

c)

- Viết PTTQ của tiếp tuyến biết điểm đi qua D(0 ; 4) và biểu diễn hệ số tự do theo tọa độ của VTPT

- Sử dụng công thức khoảng cách để tìm tọa độ VTPT

Bước 3: Viết PT tiếp tuyến của (C) với các yếu tố tìm được ở bước 2

Lời giải chi tiết :

(C) có tâm I(-2 ; 3), bán kính R = 2

a) Theo giả thiết, điểm M(m; 3) là tiếp điểm của ∆ và (C)

Ta có: \(IM = 2 \Leftrightarrow I{M^2} = 4 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 2 = 2\\m + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right.\)

Với m = 0 thì M(0 ; 3) \( \Rightarrow \)∆ đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = (2;0)\) làm VTPT nên có PT: x = 0

Với m = -4 thì M(-4 ; 3) \( \Rightarrow \)∆ đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = ( - 2;0)\) làm VTPT nên có PT: x + 4 = 0

b) Theo giả thiết, ∆ vuông góc với đường thẳng d: 5x – 12y + 1 = 0 mà d có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}}  = (5; - 12)\)

\( \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow n  = (12;5)\) làm VTPT \( \Rightarrow \Delta \) có PTTQ: 12x + 5y + c = 0

Ta có: \(d(I,\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {12.( - 2) + 5.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 9} \right| = 26 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 9 = 26\\c - 9 =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 35\\c =  - 17\end{array} \right.\)

Với c = 35 thì ∆ có PT: 12x + 5y + 35 = 0

Với c = -17 thì ∆ có PT: 12x + 5y – 17 = 0

c) Giả sử ∆ có PTTQ: \(ax + by + c = 0\)

Ta có: \(D(0;4) \in \Delta  \Rightarrow 4b + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 4b\)\( \Rightarrow \Delta :ax + by - 4b = 0\)

Ta có: \(d(I,\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2a + 3b - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow \left| { - 2a - b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

                           \( \Leftrightarrow 4{a^2} + 4ab + {b^2} = 4({a^2} + {b^2}) \Leftrightarrow 3{b^2} = 4ab \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3b = 4a\end{array} \right.\)

Với b = 0, chọn a = 1 \( \Rightarrow \Delta \) có PT: x = 0

Với 3b = 4a, chọn a = 3, b = 4 \( \Rightarrow \Delta \) có PT:3x + 4y – 16 = 0