Bài 32 trang 74 SBT toán 10 Cánh diều: Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳn...

Đề bài :

Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x  + y – 4 = 0

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B

b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} \)| có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải :

Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tổng quát ∆

Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT AM = BM

Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M

Bước 4: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Bước 5: Biến đổi và tìm GTNN của biểu thức |\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} \)| để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết

Lời giải chi tiết :

a) Gọi \(M(t;4 - 2t) \in \Delta \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t + 2; - 2t + 2)\), \(\overrightarrow {BM}  = (t - 7; - 2t - 1)\)

Theo giả thiết, M cách đều hai điểm A và B \( \Rightarrow AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2}\)

                                                            \( \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {( - 2t + 2)^2} = {(t - 7)^2} + {( - 2t - 1)^2}\)

                                                            \( \Leftrightarrow  - 4t + 8 =  - 10t + 50 \Leftrightarrow 6t = 42 \Leftrightarrow t = 7\)

Vậy M(7 ; -10)

b*) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (9;3),\overrightarrow {AC}  = (6; - 7)\)

Vì \(\frac{9}{6} \ne \frac{3}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương \( \Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng

Gọi G là trọng tâm ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {3;\frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Xét \(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {NG}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {NG} } \right| = 3NG\)

\(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) N là hình chiếu của G trên ∆

Gọi d là đường thẳng đi qua G, vuông góc với ∆

∆ có VTPT \(\overrightarrow n  = (2;1)\) \( \Rightarrow \) ∆ có một VTCP là \(\overrightarrow u  = (1; - 2)\)

Do \(d \bot \Delta \) nên d nhận \(\overrightarrow u  = (1; - 2)\)làm VTPT \( \Rightarrow \) d có PT: 3x – 6y – 5 = 0

N là giao điểm của d và ∆ \( \Rightarrow \) tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\3x - 6y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{{15}}\\y = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)