Bài 29 trang 73 SBT toán 10 Cánh diều: Cho tam giác ABC, biết toạ độ trung điểm các cạnh BC, CA,...

Đề bài :

Cho tam giác ABC, biết toạ độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(-1 ; 1), N(3 ; 4), P(5 ; 6).

a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA

b) Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của tam giác ABC

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {NP} \) rồi xác định các VTCP của AB, BC, CA

Bước 2: Viết PT tham số của các đường thẳng AB, BC, CA khi biết điểm đi qua và VTCP

Bước 3: Tìm các VTPT của các đường trung trực của ∆ABC là các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {NP} \)

Bước 4: Viết PTTQ các đường trung trực của tam giác ABC

Lời giải chi tiết :

a) Theo giả thiết, MN, MP, NP là các đường trung bình của ∆ABC \( \Rightarrow MN//AB,MP//AC,NP//BC\)

Khi đó, AB, AC, BC lần lượt nhận các vectơ \(\overrightarrow {MN}  = (4;3),\overrightarrow {MP}  = (6;5),\overrightarrow {NP}  = (2;2)\) làm VTCP

+ AB đi qua P, nhận \(\overrightarrow {MN}  = (4;3)\) làm VTCP nên có PT tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = 6 + 3t\end{array} \right.\)

+ AC đi qua N, nhận \(\overrightarrow {MP}  = (6;5)\) làm VTCP nên có PT tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 6k\\y = 4 + 5k\end{array} \right.\)

+ BC đi qua M, nhận \(\overrightarrow u  = (1;1)\)cùng phương với \(\overrightarrow {NP}  = (2;2)\) làm VTCP nên có PT tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + p\\y = 1 + p\end{array} \right.\)

b) Ta có:

+ Đường trung trực của cạnh AB đi qua P và nhận \(\overrightarrow {MN}  = (4;3)\) làm VTPT nên có PTTQ:

4x + 3y – 38 = 0

+ Đường trung trực của cạnh AC đi qua N và nhận \(\overrightarrow {MP}  = (6;5)\) làm VTPT nên có PTTQ:

6x + 5y – 38 = 0

+ Đường trung trực của cạnh BC đi qua M và nhận \(\overrightarrow {NP}  = (2;2)\) làm VTPT nên có PTTQ:

2x + 2y = 0 \( \Leftrightarrow x + y = 0\)