Giải mục 2 trang 53, 54, 55 Toán 9 tập 2 - Cánh diều: Tìm số thích hợp cho “? ” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 53

Giải các phương trình sau:

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)

c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)

Hướng dẫn giải :

\({x^2} = a(a \ge 0)\)

\(x = a\) hoặc \(x = - a\)

Lời giải chi tiết :

a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\(\begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 2\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).

b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)

\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)

\(x = 4\) \(x = - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4;{x_2} = - 2\)

c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)

Vì \({(x - 3)^2} \ge 0\forall x \in R\) và \( - 1 < 0\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 53

Giải phương trình sau: \({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)

Hướng dẫn giải :

\({x^2} = a(a \ge 0)\)

\(x = a\) hoặc \(x = - a\)

Lời giải chi tiết :

\({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)

\(x - 4 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 4 = - \sqrt {11} \)

\(x = 4 + \sqrt {11} \) \(x = 4 - \sqrt {11} \)

Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4 + \sqrt {11} \) và \({x_2} = 4 - \sqrt {11} \).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 53

Xét phương trình \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\) (1)

Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) (2)

a) Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-? \right)}^{2}}=?$.

b) Từ đó, hãy giải phương trình 2.

c) Nêu các nghiệm của phương trình (1).

Hướng dẫn giải :

Viết lại số hạng \(2x = 2.x.1\), phương trình (2) có dạng:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2.x.1 + 1 - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)

Sau đó giải phương trình vừa tìm được.

Lời giải chi tiết :

a)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 = 0\\\left( {{x^2} - 2.x.1 + 1} \right) - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)

Vậy "?” thứ nhất là 1, "?” thứ hai là 9.

b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)

\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)

\(x = 4\) \(x = - 2\)

Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\)

c) \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\)

\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)

Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 54

Giải các phương trình:

a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)

b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)

c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình với \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\)

Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

a)\(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = 3;b = - 1;c = - 0,5\)

\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3.( - 0,5) = 7 > 0\)

Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6};{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\)

b)\(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = 4;b = 10;c = 15\)

\(\Delta = {10^2} - 4.4.15 = - 140 < 0\)

Do \(\Delta < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

c)\( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = - 1;b = 1;c = - \frac{1}{4}\)

\(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right).( - \frac{1}{4}) = 0\)

Do \(\Delta = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 54

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b’\).

a) Đặt \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta ‘.\)

b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ‘ > 0;\Delta ‘ = 0;\Delta ‘ < 0.\)

Hướng dẫn giải :

a) Thay \(b = 2b’\) vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) rồi thu gọn.

b) Xét dấu của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\).

Lời giải chi tiết :

a) Thay \(b = 2b’\)vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta được:

\(\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b’)^2} - 4ac = 4b{‘^2} - 4ac = 4\left( {b{‘^2} - ac} \right) = 4\Delta ‘\) (vì \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\))

\( \Rightarrow \) đpcm

b) Vì \(\Delta = 4\Delta ‘ \Rightarrow \Delta ‘ = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta ‘\)cùng dấu. Vậy:

Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b’ - \sqrt {\Delta ‘} }}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b’}}{a}.\)

Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56

Giải các phương trình:

a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)

b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)

c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)

Hướng dẫn giải :

Áp dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình với \(b = 2b’\) và \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\).

Nếu \(\Delta ‘ > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - b’ + \sqrt {\Delta ‘} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b’ - \sqrt {\Delta ‘} }}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b’}}{a}.\)

Nếu \(\Delta ‘ = 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

a)\({x^2} - 6x - 5 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = - 6;c = 5\). Do \(b = - 6\) nên \(b’ = - 3\).

\(\Delta ‘ = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.5 = 4 > 0\)

Do \(\Delta ‘ > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 5\)

b)\( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = - 3;b = 12;c = - 35\). Do \(b = 12\) nên \(b’ = 6\).

\(\Delta ‘ = {6^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 35} \right) = - 69 < 0\)

Do \(\Delta ‘ < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

c)\( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = - 25;b = 30;c = - 9\). Do \(b = 30\) nên \(b’ = 15\).

\(\Delta ‘ = {15^2} - \left( { - 25} \right).( - 9) = 0\)

Do \(\Delta ‘ = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 15}}{{ - 25}} = \frac{3}{5}\)