Giải mục 2 trang 108, 109 Toán 9 Cánh diều tập 1: Các tam giác \(MOA\) và \(MOB\) có bằng nhau hay không?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 108

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường thẳng \(c,d\) lần lượt tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại \(A,B\) và cắt nhau tại \(M\) (Hình 38).

a) Các tam giác \(MOA\) và \(MOB\) có bằng nhau hay không?

b) Hai đoạn thẳng \(MA\) và \(MB\) có bằng nhau hay không?

c) Tia \(MO\) có phải là tia phân giác của góc \(AMB\) hay không?

d) Tia \(OM\) có phải là tia phân giác của gics \(AOB\) hay không?

Hướng dẫn giải :

Dựa vào tam giác bằng nhau để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

a) Do \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(MA \bot AO\) suy ra \(\widehat {MAO} = 90^\circ \).

Do \(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(MB \bot BO\) suy ra \(\widehat {MBO} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(MOA\)và tam giác \(MOB\) có:

\(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

\(OA = OB = R\)

\(OM\) chung

\( \Rightarrow \Delta MOA = \Delta MOB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(MA = MB\) (2 cạnh tương ứng).

c) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (2 góc tương ứng) suy ra \(MO\) là tia phân giác của góc \(AMB\).

d) Do \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\) (2 góc tương ứng) suy ra \(OM\) là tia phân giác của góc \(AOB\).

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 109

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng \(c,d\) qua \(M\) lần lượt tiếp xúc với \(\left( O \right)\) tại \(A,B\) biết \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Chứng minh \(AB = R\).

Hướng dẫn giải :

Dựa vào tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết :

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AMO\) vuông tại \(A\) có:

\(\widehat {AMO} + \widehat {MOA} = 90 \Rightarrow 60^\circ + \widehat {MOA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {MOA} = 30^\circ \).

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.30^\circ = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AOB\) có: \(OA = OB = R\) nên tam giác \(AOB\) cân tại \(O\).

Lại có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) suy ra tam giác \(AOB\) là tam giác đều.

Vậy \(AO = OB = AB = R\).