Bài 3 trang 34 Toán 9 Cánh diều tập 1: Cho \(a > b > 0\). Chứng minh: \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\). b. Áp dụng kết quả trên...

Đề bài :

a. Cho \(a > b > 0\). Chứng minh: \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: \(\frac{{2022}}{{2023}}\) và \(\frac{{2023}}{{2024}}\).

a. Cho \(a > b > 0\). Chứng minh: \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: \(\frac{{2022}}{{2023}}\) và \(\frac{{2023}}{{2024}}\).

Hướng dẫn giải :

Xét hiệu để chứng minh. Sau đó dùng kết quả vừa chứng minh để so sánh.

Lời giải chi tiết :

a. Do \(a > b\) nên \(b - a < 0\).

Do \(a > b > 0\) nên \(ab > 0\).

Xét hiệu \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{{b - a}}{{ab}}\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}b - a < 0\\ab > 0\end{array} \right.\) nên \(\frac{{b - a}}{{ab}} < 0\).

Vậy \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

b. Ta có: \(\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}};\,\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}\)

Theo kết quả vừa chứng minh ta có:

\(2024 > 2023\) nên \(\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}\) suy ra \( - \frac{1}{{2023}} < - \frac{1}{{2024}}\) nên \(1 - \frac{1}{{2023}} < 1 - \frac{1}{{2024}}\).

Vậy \(\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}\).