Bài 5 trang 74 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho hình chóp tam giác đều \(S. ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng 9 cm, \(SH\) là chiều cao...

Đề bài :

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng 9 cm, \(SH\) là chiều cao. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (Hình 5). Tính thể tích của hình chóp \(S.ABC\), biết \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}AB\) và \(SH = 2AH\).

Hướng dẫn giải :

Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.

Ta có: \(V = \frac{1}{3}.S.h\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}AB\) nên \(AH = 3\sqrt 3 \) cm. Suy ra \(SH = 2AH = 6\sqrt 3 \) cm.

Do \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH = \frac{2}{3}AM\).

Suy ra \(AM = \frac{3}{2}AH = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\) cm.

\(\Delta ABM = \Delta ACM\)(c-c-c) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \). Do đó \(AM \bot BC\).

Diện tích của hình chóp tam giác đều đó là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{{81\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều đó là: \(\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{{243}}{2}\left( {c{m^3}} \right)\).