Bài 37 trang 19 SBT Toán 8 - Cánh diều: Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố...

Đề bài :

Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố.

Hướng dẫn giải :

Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm số tự nhiên \(n\) là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\({n^3} - {n^2} + n - 1 = \left( {{n^3} - {n^2}} \right) + \left( {n - 1} \right) = {n^2}\left( {n - 1} \right) + \left( {n - 1} \right) = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\)

Với mọi số tự nhiên \(n\), ta có: \(n - 1 < {n^2} + 1\). Do đó, để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố thì \(n - 1 = 1\). Suy ra \(n = 2\). Khi đó \({n^3} - {n^2} + n - 1 = 5\) là số nguyên tố.

Vậy \(n = 2\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.