Bài 4 trang 69 Toán 8 – Cánh diều: Cho hình thoi ABCD (Hình 4). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn \(AB = 3AM\)...

Đề bài :

Cho hình thoi ABCD (Hình 4). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn \(AB = 3AM\). Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh \(ND = 3MN\).

Hướng dẫn giải :

Sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết :

Gọi giao điểm hai đường chéo của hình thoi là O.

Khi đó AC vuông góc với BD tại O.

Vì ABCD là hình thoi nên \(AB = AD\) hay tam giác ABD cân tại A.

Khi đó AO vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác ABD.

Xét tam giác AMD với AN là đường phân giác, ta có:

\(\frac{{ND}}{{NM}} = \frac{{AD}}{{AM}}\,\,\left( 1 \right)\) (Tính chất đường phân giác)

Mà \(AB = 3AM \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AM}} = 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{ND}}{{NM}} = 3 \Rightarrow ND = 3NM\).