Bài 11 trang 121 Toán 8 tập 1 - Cánh diều: Cho bình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B...

Đề bài :

Cho bình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) \(\Delta IAM = \Delta ICN\)

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải :

a) Chứng minh \(\Delta IAM = \Delta ICN\)(g-c-g)

b) Chứng minh tứ giác AMCN có cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

c) Chứng minh I là trung điểm của BD.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác IAM ta có: \(\widehat {AMI} + \widehat {MIA} + \widehat {MAI} = {180^o}\)

Xét tam giác ICN có: \(\widehat {CNI} + \widehat {NIC} + \widehat {NCI} = {180^o}\)

Vì: \(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {MAI} = \widehat {NCI}\) (do AB // CD)

Suy ra: \(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\)

Xét tam giác IAM và tam giác ICN có:

\(\widehat {AMI} = \widehat {CNI}\)

AM = CN

\(\widehat {MIA} = \widehat {NIC}\)

\( \Rightarrow \Delta IAM = \Delta ICN(g - c - g)\)

b) Ta có: AM = CN (gt)

AM // CN (vì M \( \in\) AB, N \( \in\) CD)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành

Suy ra I là trung điểm của AC

Suy ra I là trung điểm của BD (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra ba điểm B, I, D thẳng hàng.