Bài 77 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của...

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Phương pháp giải :

- Chứng minh: GB = GC, EB = EC, BG = BE suy ra BG = GC = BE = CE.

- Chứng minh: \(\Delta ABE = \Delta AC{\rm{E}}(c - c - c)\)

- Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)  thì chứng minh: tam giác ABC cân  có \(\widehat {ACB} = {60^o}\) nên tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

DB = DC (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) 

Suy ra AD vuông góc với BC.

Mặt khác D là trung điểm của BC

Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra GB = GC (1)

Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó EB = EC (2)

Xét ∆BGD và ∆BED có:

\(\widehat {BDG} = \widehat {BDE}\left( { = 90^\circ } \right)\),

BG là cạnh chung,

DG = DE (giả thiết)

Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BG = BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

Vậy BG = GC = CE = BE.

b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BE = CE (chứng minh câu a),

AE là cạnh chung

Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

Vậy ∆ABE = ∆ACE.

c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}GE\)

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}AG\).

Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên \(GE = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\).

Mặt khác \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)

Suy ra GE = GC.

Theo câu a ta lại có GC = EC.

Khi đó GC = GE = EC.

+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều

Do đó \(\widehat {CGE} = 60^\circ \)

Suy ra:

• \(\widehat {CGD} + \widehat {GCD} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {GCD} = 90^\circ  - \widehat {CGD} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

 • \(\widehat {CGE} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AGC} = {180^o} - \widehat {CGE} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA}\)

Lại có \(\widehat {GAC} + \widehat {GCA} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác AGC).

Do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AGC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)

+) Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACG} + \widehat {GCB}\) (hai góc kề nhau)

Hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ  + 30^\circ  = 60^\circ \)

Tam giác cân ABC có \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.