Bài 88 trang 94 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh h...

Đề bài :

Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Phương pháp giải :

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Chứng minh M là trung điểm của BC

Lời giải chi tiết :

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB}\) (1)

Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ  - \widehat {ABC}\) (2)

Ta có \(\widehat {BAM} + \widehat {MAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {MAC} = 90^\circ  - \widehat {MBA}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)

Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.

Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.