Bài 89 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy...

Đề bài :

Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55).

Chứng minh:

a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giácEMF.

b) Nếu \(\widehat {xOy} = 30^\circ \) thì \(\widehat {EOF} = 60^\circ \).

Phương pháp giải :

- Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

- Cho \(\widehat {xOy} = 30^\circ \) chứng minh: \(\widehat {EOM} = 2\widehat {xOM}\) và \(\widehat {MOF} = 2\widehat {MOy}\) từ đó chứng minh

\(\widehat {EOF} = \widehat {EOM} + \widehat {MOF} = 2\widehat {xOM} + 2\widehat {MOy}\)\( = 2\left( {\widehat {xOM} + \widehat {MOy}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

Lời giải chi tiết :

a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

b)

Gọi H là trung điểm của EM.

Xét ∆OEH và ∆OMH có:

\(\widehat {OHE} = \widehat {OHM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OH là cạnh chung,

EH = MH (do H là trung điểm của EM).

Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {{\rm{EOH}}} = \widehat {MOH}\) (hai góc tương ứng).

Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên \(\widehat {{\rm{EOx}}} = \widehat {xOM} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{EOM}}}\)

Hay \(\widehat {EOM} = 2\widehat {xOM}\).

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\widehat {{\rm{FOy}}} = \widehat {MOy} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MOF}}}\)

Hay\(\widehat {MOF} = 2\widehat {MOy}\)

Ta có: \(\widehat {EOF} = \widehat {EOM} + \widehat {MOF} = 2\widehat {xOM} + 2\widehat {MOy}\)\( = 2\left( {\widehat {xOM} + \widehat {MOy}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

Vậy nếu \(\widehat {xOy} = 30^\circ \) thì \(\widehat {EOF} = 60^\circ \).