Trang chủ Lớp 7 SBT Toán 7 - Cánh diều Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác Bài 98 trang 97 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E ∈ A...

Bài 98 trang 97 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E ∈ A...

Giải Bài 98 trang 97 sách bài tập toán 7 - Cánh diều - Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E ∈ AB), kẻ MF vuông góc với AC (F ∈ AC). Gọi I là giao điểm của AM và EF. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) AM vuông góc với EF;

b) Trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC;

c) Trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng.

Phương pháp giải :

- Chứng minh:AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AM vuông góc với EF.

- Chứng minh: AM ⊥ BC hay BM ⊥ AD và CM ⊥ AD mà BM và CM là các đường cao tương ứng của các tam giác ABD, ACD. Suy ra trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

- Xét từng trường hợp của tam giác để chứng minh trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng, đó là đường thẳng AD.

Lời giải chi tiết :

 image

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Xét ∆BME và ∆CMF có:

\(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có ME = MF nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (1)

Lại có AB = AE + EB, AC = AF + FC

Mà AB = AC, BE = CF (chứng minh trên)

Suy ra AE = AF nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó AM vuông góc với EF.

Vậy AM vuông góc với EF.

b) Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC, BM = CM, AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Suy ra AM ⊥ BC hay BM ⊥ AD và CM ⊥ AD .

Mà BM và CM là các đường cao tương ứng của các tam giác ABD, ACD.

Suy ra trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

Vậy trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

c) Ta có AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AM ⊥ EF.

Do đó trực tâm của tam giác AEF và tam giác MEF nằm trên đường thăng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác ABC có AM là đường cao nên trực tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác DBC có DM là đường cao nên trực tâm tam giác DBC nằm trên đường thẳng DM hay chính là đường thẳng AD.

Suy ra trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên đường thẳng AD.

Vậy trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng, đó là đường thẳng AD.

Dụng cụ học tập

Để học tốt môn Toán, chúng ta cần có sách giáo khoa, vở bài tập, bút chì, bút mực, thước kẻ, compa, máy tính cầm tay và giấy nháp.

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Sách Giáo Khoa: Cánh diều

- Bộ sách Cánh Diều được lựa chọn bởi phù hợp nhiều đối tượng học sinh. Mỗi cuốn sách giáo khoa Cánh Diều đều chứa đựng rất nhiều sáng tạo, tâm huyết, mang đầy tri thức và cảm xúc của các tác giả biên soạn.

Đọc sách

Bạn có biết?

Toán học, được ví như "ngôn ngữ của vũ trụ", không chỉ là môn học về số và hình học. Đó là lĩnh vực nghiên cứu trừu tượng về các cấu trúc, không gian và phép biến đổi, góp phần quan trọng vào việc giải mã các hiện tượng tự nhiên và phát triển công nghệ.

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 7

Lớp 7 - Năm thứ hai ở cấp trung học cơ sở, chúng ta đã dần quen với nhịp điệu học tập. Hãy tiếp tục nỗ lực và khám phá thêm những kiến thức mới mẻ!

- Học nhưng cũng chú ý sức khỏe nhé!. Chúc các bạn học tập tốt.

Nguồn : Sưu tập

Copyright © 2024 Giai BT SGK