Bài 96 trang 97 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ...

Đề bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.

a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

Phương pháp giải :

Chứng minh: DI ⊥ BC và IK ⊥ BC do đó DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.

- Chứng minh: tam giác BCD là tam giác đều do đó \(\widehat {DBC} = 60^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)từ đó uy ra điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \).

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.

Suy ra DI ⊥ BC.

Mặt khác, IK ⊥ BC (giả thiết).

Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.

Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.

b) Xét ∆CDA và ∆CBA có:

\(\widehat {CAD} = \widehat {CAB}\left( { = {{90}^o}} \right)\),

CA là cạnh chung,

AD = AB (giả thiết)

Do đó ∆CDA = ∆CBA (hai cạnh góc vuông)

Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó CE = DE.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có ∆BDE = ∆BCE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.

Do đó \(\widehat {DBC} = 60^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)

Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)