Bài 106 trang 99 SBT Toán lớp 7 Cánh diều:  Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác...

Đề bài :

 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Phương pháp giải :

- Chứng minh: ∆ABD = ∆AED (c.g.c) suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).

- Chứng minh: ∆ABC = ∆AEF (g.c.g) suy ra AC = AF.

- Chứng minh I là trọng tâm của tam giác DFC nên suy ra DI = 2IH.

Lời giải chi tiết :

a) Xét DABD và DEAD có:

AB = AE (giả thiết),

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung

Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)

b) Xét ∆ABC và ∆AEF có:

\(\widehat {FAC}\) là góc chung,

AB = AE (giả thiết),

\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (Do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))

Suy ra ∆ABC = ∆AEF (g.c.g)

Do đó AC = AF (hai cạnh tương ứng)

Vậy AC = AF.

c) Xét ∆AHF và ∆AHC có:

AH là cạnh chung,

\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC),

AF = AC (chứng minh câu b)

Do đó ∆AHF = ∆AHC (c.g.c)

Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DFC.

Xét tam giác DFC có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I

Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.

Do đó IH = \(\frac{1}{2}\)ID (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay DI = 2IH.

Vậy DI = 2IH.