Bài 105 trang 99 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H....

Đề bài :

Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.

b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.

c) So sánh HB và HD.

d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Phương pháp giải :

- Chứng minh: ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

- Chứng minh: HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

-  Chứng minh: HC > HD và HB = HC nên HB > HD.

- Chứng minh: HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC  và AH ⊥ BC suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P

Lời giải chi tiết :

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

\(\hat A\) là góc chung,

Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy ∆ADB = ∆AEC.

b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng).

Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.

Mà AB = AC, AE = AD.

Suy ra BE = CD.

Xét ∆EHB và ∆DHC có:

\(\widehat {HEB} = \widehat {H{\rm{D}}C}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BE = CD (chứng minh trên),

\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\))

Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).

Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.

c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà HC = HB (chứng minh câu b)

Do đó HB > HD.

Vậy HB > HD.

d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.

Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.

Từ đó ta có PB = PC.

Xét ∆HBP và ∆HCP có:

HB = HC (chứng minh ở câu b),

HP là cạnh chung,

PB = PC (chứng minh trên)

Do đó ∆HBP = ∆HCP (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {HPB} + \widehat {HPC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)

• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P

Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.