Giải mục 1 trang 6, 7, 8 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.

Hướng dẫn giải :

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).

Lời giải chi tiết :

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7

Cho hàm số y = f(x) = \({x^2}\)

a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các

khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f ‘(x) và xét dấu f ‘(x).

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,

nghịch biến của hàm số với dấu của f ‘(x).

Hướng dẫn giải :

a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).

b) Dựa vào công thức đạo hàm để tìm f ‘(x)

c) So sánh và rút ra nhận xét

Lời giải chi tiết :

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))

Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)

b) f ‘(x) = (\({x^2}\))’ = 2x

Ta có:

f ‘(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

f ‘(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

c) Nhận xét:

f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K

f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 9

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)

b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)

Hướng dẫn giải :

Xác định tập xác định D, đạo hàm f’(x) và lập bảng biến thiên

Lời giải chi tiết :

a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (0; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)

b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

\(g'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = 3x - sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hướng dẫn giải :

Tìm tập xác định D, đạo hàm f’(x) và dựa vào tính chất \( - 1 \le \cos x \le 1\)

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 3 - \cos x\)

Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9

Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\) với \(0 \le t \le 8\)

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Hướng dẫn giải :

Xét dấu h’(x) để tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến

Lời giải chi tiết :

\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)

\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m

Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút

Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút