Giải mục 2 trang 21 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{x}\) có đồ thị như Hình 4...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 21

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{x}\) có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \frac{{x + 1}}{x},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \frac{{x + 1}}{x}\)

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \)

Hướng dẫn giải :

Quan sát đồ thị

Lời giải chi tiết :

a) Từ đồ thị ta thấy:

Khi \(x \to + \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

Khi \(x \to - \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

b) MN = y – 1 = \(\frac{{x + 1}}{x} - 1 = \frac{1}{x}\)

Khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \) thì MN tiến dần về 0

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 21

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\)

b) \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = m\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m\)

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\)

Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)

Tập xác định: \(D = [0; + \infty )\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1\)

Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Câu hỏi:

Hướng dẫn giải :

Lời giải chi tiết :