Bài 4 trang 18 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình...

Đề bài :

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Hướng dẫn giải :

Tìm mối liên hệ giữa chiều dài và chiều rộng của cửa, sau đó lập hàm số của diện tích cửa sổ, tìm đạo hàm, vẽ bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của diện tích

Lời giải chi tiết :

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)

Chu vi cửa sổ là: \(2(a + b) = 4 \Leftrightarrow b = 2 - a\)

Diện tích cửa sổ là: \(y = ab = a(2 - a) = - {a^2} + 2a\)

\(y’ = - 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} y = y(1) = 1\)

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng \(1{m^2}\) thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng 1m