Bài 1 trang 24 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau...

Đề bài :

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

b) \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

c) \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Hướng dẫn giải :

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty \)

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = m\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m\)

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{2}\) và y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} = - \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} = - \frac{1}{2}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{4}\) và y = \( - \frac{1}{2}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{3}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{7}{3}\) và y = \(\frac{5}{3}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số