Giải mục 5 trang 32,33,34 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?...

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 35

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{d’}}}\) hay \(d’ = \frac{{df}}{{d - f}}\)

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187)

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\) và \(x \ne 3\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Hướng dẫn giải :

a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Ảnh ảo nếu d’ < 0 và ảnh thật nếu d’ > 0

c) Tìm giới hạn của d’ khi d tiến dần đến f

Lời giải chi tiết :

a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)

• Chiều biến thiên:

\(y’ = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)

• Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox

b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)

Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo

Câu hỏi:

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 35

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500\(c{m^3}\) với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; \( + \infty \)).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Hướng dẫn giải :

a) Dựa vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật V = xyh, từ đó suy ra mối liên hệ giữa x và y

b) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \({S_{tp}} = 2h(x + y) + 2xy\)

c) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_{tp}}\) trên tập xác định

Lời giải chi tiết :

a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)

b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)

c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

• Chiều biến thiên:

\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)

• Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)

Bảng biến thiên:

d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)